Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer où le théorème de la moyenne est respecté
,
Étape 1
Si est continu sur l’intervalle et différentiable sur , au moins un nombre réel existe sur l’intervalle de telle sorte que . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur et la pente de la droite passant par les points et .
Si est continu sur
et si différentiable sur ,
alors il existe au moins un point, dans  : .
Étape 2
Vérifiez si est continu.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 2.2
est continu sur .
La fonction est continue.
La fonction est continue.
Étape 3
Déterminez la dérivée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.1.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.2
Additionnez et .
Étape 3.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 4
Déterminez si la dérivée est continue sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4.2
est continu sur .
La fonction est continue.
La fonction est continue.
Étape 5
La fonction est différentiable sur car la dérivée est continue sur .
La fonction est différentiable.
Étape 6
respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur et différentiable sur .
est continu sur et différentiable sur .
Étape 7
Évaluez à partir de l’intervalle .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 7.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 7.2.1.2
Multipliez par .
Étape 7.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.2.1
Additionnez et .
Étape 7.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 7.2.3
La réponse finale est .
Étape 8
Évaluez à partir de l’intervalle .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 8.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.2.1.2
Multipliez par .
Étape 8.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.2.1
Additionnez et .
Étape 8.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 8.2.3
La réponse finale est .
Étape 9
Résolvez pour . .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 9.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.6
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.6.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.1.1.6.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.1.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.2.1
Multipliez par .
Étape 9.1.2.2
Additionnez et .
Étape 9.1.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.3.1
Additionnez et .
Étape 9.1.3.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3.3
Divisez par .
Étape 9.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 9.2.2
Soustrayez de .
Étape 9.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 9.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 9.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 9.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.3.3.1
Divisez par .
Étape 10
Il y a une droite tangente sur parallèle à la droite qui passe par les points finaux et .
Il y a une droite tangente sur parallèle à la droite qui passe par les points finaux et
Étape 11
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