Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Étape 1

Écrivez $y = {(x + 3)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

Étape 2.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (1) = 16$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 2.2

Comme $16 = 16$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Réécrivez ${(x + h + 3)}^{2}$ comme $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Étape 5.1.2.2

Développez $(x + h + 3) (x + h + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.4

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.4.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.5

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.6

Additionnez $3 h$ et $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.1.2.7

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 7.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Étape 7.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Étape 7.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Étape 7.1.7

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Étape 7.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x + 6 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Étape 7.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Étape 7.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Étape 7.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Étape 7.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Étape 7.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $h + 2 x + 6$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Étape 8

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Étape 9

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 x + 0 + 6$

Étape 10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x + 6$

Étape 11

Simplifiez $2 (1) + 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = 2 + 6$

Étape 11.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$m = 8$

Étape 12

La pente est $m = 8$ et le point central est $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Étape 13

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 13.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (8) \cdot x + b$

Étape 13.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Étape 13.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Étape 13.5

Déterminez la valeur de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Réécrivez l’équation comme $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Étape 13.5.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + b = 16$

Étape 13.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$b = 16 - 8$

Étape 13.5.3.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$b = 8$

Étape 14

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 8 x + 8$

Étape 15

Saisissez VOTRE problème