Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 2 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x = - 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 1$ .

$- 1$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 2 x + 2$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ augmente et diminue est $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 2 (- 2) + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 + 2$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f' (- 2) = - 2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 2 (0) + 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f' (0) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1)$

Étape 8

Saisissez VOTRE problème