Calcul infinitésimal Exemples

Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.2
Additionnez et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Additionnez et .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4.2
Additionnez et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 10
Déterminez la valeur y quand .
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Étape 10.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 10.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 10.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 10.2.1.4.3
Annulez le facteur commun.
Étape 10.2.1.4.4
Réécrivez l’expression.
Étape 10.2.1.5
Réécrivez comme .
Étape 10.2.1.6
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.1.6.1
Associez et .
Étape 10.2.1.6.2
Multipliez par .
Étape 10.2.2
Associez les fractions.
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Étape 10.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.2.2.2
Additionnez et .
Étape 10.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 10.2.4
Associez et .
Étape 10.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 10.2.6
Simplifiez le numérateur.
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Étape 10.2.6.1
Multipliez par .
Étape 10.2.6.2
Additionnez et .
Étape 10.2.7
La réponse finale est .
Étape 11
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
Étape 12
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