Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 16$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]$

Étape 1.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 6 + 0$

Étape 1.10

Additionnez $2 x + 6$ et $0$ .

$2 x + 6$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$2 (1) + 6$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 6$

Étape 1.12.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$8$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $8$ et un point donné, tel que $(1, 16)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 8 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $8 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$y - 16 = 8 x - 8$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8 x - 8 + 16$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 8$ et $16$ .

$y = 8 x + 8$

Étape 3

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