Analysis Beispiele

$y = 4 x^{2} + 6 x$ , $(- 3, 18)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 3$ und $y = 18$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 x + 6 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$8 x + 6$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 3$ .

$8 (- 3) + 6$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$- 24 + 6$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 24$ und $6$ .

$- 18$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 18$ und einen gegebenen Punkt $(- 3, 18)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (18) = - 18 \cdot (x - (- 3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 18 \cdot (x + 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 18 = 0 + 0 - 18 \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 18 = - 18 x - 18 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$y - 18 = - 18 x - 54$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 18 x - 54 + 18$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 54$ und $18$ .

$y = - 18 x - 36$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein