Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall
,
Bestimme die Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Mutltipliziere mit .
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Mutltipliziere mit .
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Addiere und .
Setze die Ableitung gleich .
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Teile jeden Ausdruck durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Teile jeden Ausdruck in durch .
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Dividiere durch .
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Setze den ersten Faktor gleich .
Setze den nächsten Faktor gleich und löse.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Setze den nächsten Faktor gleich .
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Teile jeden Ausdruck durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Teile jeden Ausdruck in durch .
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Dividiere durch .
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Setze die Werte von , die bewirken, dass die Ableitung ist, in die ursprüngliche Funktion ein.
Berechne.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Mutltipliziere mit .
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Mutltipliziere mit .
Vereinfache durch Addieren von Nullen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Addiere und .
Subtrahiere von .
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Wende die Produktregel auf an.
Potenziere mit .
Potenziere mit .
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Forme den Ausdruck um.
Mutltipliziere mit .
Wende die Produktregel auf an.
Potenziere mit .
Potenziere mit .
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Kombiniere und .
Mutltipliziere mit .
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Mutltipliziere mit .
Multipliziere und .
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Mutltipliziere mit .
Multipliziere und .
Vereine Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereine Brüche mit gleichen Nennern.
Multipliziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Subtrahiere von .
Subtrahiere von .
Dividiere durch .
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Da es keine Werte für gibt, für welche die Ableitung nicht definiert ist, gibt es keine weiteren kritischen Punkte.
Untersuche das gegebene Intervall auf mögliche absolute Extrema mithilfe der Endpunkte und aller kritischen Punkte im Intervall.
Berechne die Funktion bei .
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Mutltipliziere mit .
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Mutltipliziere mit .
Vereinfache durch Addieren von Nullen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Addiere und .
Subtrahiere von .
Berechne die Funktion bei .
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Wende die Produktregel auf an.
Potenziere mit .
Potenziere mit .
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Forme den Ausdruck um.
Mutltipliziere mit .
Wende die Produktregel auf an.
Potenziere mit .
Potenziere mit .
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Kombiniere und .
Mutltipliziere mit .
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Mutltipliziere mit .
Multipliziere und .
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Mutltipliziere mit .
Multipliziere und .
Vereine Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereine Brüche mit gleichen Nennern.
Multipliziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Subtrahiere von .
Subtrahiere von .
Dividiere durch .
Berechne die Funktion bei .
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Subtrahiere von .
Subtrahiere von .
Berechne die Funktion bei .
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Subtrahiere von .
Subtrahiere von .
Vergleiche die ermittelten -Werte für jeden Wert von , um das absolute Maximum und Minimum im gegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim höchsten -Wert auftreten und das Minimum wird beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
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