Analysis Beispiele

Ermittle die Wendepunkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Mutltipliziere mit .
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Mutltipliziere mit .
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Mutltipliziere mit .
Die zweite Ableitung von nach ist .
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Setze die zweite Ableitung gleich .
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Teile jeden Ausdruck durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Teile jeden Ausdruck in durch .
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Dividiere durch .
Wende das Distributivgesetz an.
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Mutltipliziere mit .
Bringe auf die linke Seite von .
Dividiere durch .
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Faktorisiere aus heraus.
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Setze gleich .
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Setze gleich .
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Mutltipliziere mit .
Addiere und .
Die endgültige Lösung ist .
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Subtrahiere von .
Die endgültige Lösung ist .
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Addiere und .
Die endgültige Lösung ist .
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Subtrahiere von .
Die endgültige Lösung ist .
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall ab
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Subtrahiere von .
Die endgültige Lösung ist .
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Erzeuge Intervalle um die Wendepunkte und die undefinierten Werte herum.
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Addiere und .
Die endgültige Lösung ist .
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Subtrahiere von .
Die endgültige Lösung ist .
Der Graph ist im Intervall konkav, weil negativ ist.
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen...
Potenziere mit .
Mutltipliziere mit .
Mutltipliziere mit .
Subtrahiere von .
Die endgültige Lösung ist .
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
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