حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

خطوة 1

اكتب $y = {(x + 3)}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أضف $1$ و $3$ .

$f (1) = 4^{2}$

خطوة 2.1.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (1) = 16$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $16$ .

$16$

خطوة 2.2

بما أن $16 = 16$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 3

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

$m$ $=$ مشتق $f (x) = {(x + 3)}^{2}$

خطوة 4

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 5

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

خطوة 5.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أعِد كتابة ${(x + h + 3)}^{2}$ بالصيغة $(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

خطوة 5.1.2.2

وسّع $(x + h + 3) (x + h + 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.3

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.4

انقُل $3$ إلى يسار $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.5

اضرب $3$ في $3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.4

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.4.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.4.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.5

أضف $3 x$ و $3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.6

أضف $3 h$ و $3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.1.2.7

الإجابة النهائية هي $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.2.2

أعِد ترتيب $2 h x$ و $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

خطوة 6

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

خطوة 7.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

خطوة 7.1.3

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

خطوة 7.1.4

أضف $h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

خطوة 7.1.5

اطرح $6 x$ من $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

خطوة 7.1.6

أضف $h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

خطوة 7.1.7

اطرح $9$ من $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

خطوة 7.1.8

أضف $h^{2} + 2 h x + 6 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

خطوة 7.1.9

أخرِج العامل $h$ من $h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.9.1

أخرِج العامل $h$ من $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

خطوة 7.1.9.2

أخرِج العامل $h$ من $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

خطوة 7.1.9.3

أخرِج العامل $h$ من $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

خطوة 7.1.9.4

أخرِج العامل $h$ من $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

خطوة 7.1.9.5

أخرِج العامل $h$ من $h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

خطوة 7.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $h + 2 x + 6$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

خطوة 7.2.2

أعِد ترتيب $h$ و $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد $2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

خطوة 8.3

احسِب قيمة حد $6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

خطوة 9

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$2 x + 0 + 6$

خطوة 10

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x + 6$

خطوة 11

بسّط $2 (1) + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $2$ في $1$ .

$m = 2 + 6$

خطوة 11.2

أضف $2$ و $6$ .

$m = 8$

خطوة 12

الميل هو $m = 8$ والنقطة هي $(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

خطوة 13

أوجِد قيمة $b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد $b$ .

$y = m x + b$

خطوة 13.2

عوّض بقيمة $m$ في المعادلة.

$y = (8) \cdot x + b$

خطوة 13.3

عوّض بقيمة $x$ في المعادلة.

$y = (8) \cdot (1) + b$

خطوة 13.4

عوّض بقيمة $y$ في المعادلة.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

خطوة 13.5

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

خطوة 13.5.2

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + b = 16$

خطوة 13.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.3.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$b = 16 - 8$

خطوة 13.5.3.2

اطرح $8$ من $16$ .

$b = 8$

خطوة 14

بما أن قيم $m$ (الميل) و $b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في $y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = 8 x + 8$

خطوة 15

إدخال مسألتك