حساب التفاضل والتكامل أمثلة

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

أوجد المشتق الأول.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

أوجد المشتق الأول.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

أوجد المشتق.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بتطبيق قاعدة الجمع, مُشتق $x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ بالنسبة لِ $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

أوجد المشتق باستخدام قاعدة القوة والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ بحيث أن $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

أوجد قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بما أنَّ $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $2 x^{2}$ , مشتق $x$ بالنسبة إلى $2 x^{2}$ هو $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

أوجد المشتق باستخدام قاعدة القوة والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ بحيث أن $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

اضرب $2$ ب $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

أوجد قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بما أنَّ $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $- 8 x$ , مشتق $x$ بالنسبة إلى $- 8 x$ هو $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} x$

أوجد المشتق باستخدام قاعدة القوة والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ بحيث أن $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1$

اضرب $- 8$ ب $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$

المشتق الأول ل $f (x)$ بالنسبة ل $x$ هو $4 x^{3} + 4 x - 8$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8$

ساوي المشتق الأول ب $0$ ثمَّ حل المعادلة $4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

ساوي المشتق الأول ب $0$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$

حلل الطرف الأيسر من المعادلة إلى عوامل.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

أخرج العامل $4$ من $4 x^{3} + 4 x - 8$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

أخرج العامل $4$ من $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) + 4 x - 8 = 0$

أخرج العامل $4$ من $4 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (x) - 8 = 0$

أخرج العامل $4$ من $- 8$ .

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot - 2 = 0$

أخرج العامل $4$ من $4 (x^{3}) + 4 x$ .

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2 = 0$

أخرج العامل $4$ من $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2$ .

$4 (x^{3} + x - 2) = 0$

حلل إلى عوامل.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

حلل $x^{3} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور الكسربة.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

إذا كان المعامل العددي للتابع كثير الحدود عدد صحيح, فذلك يعني أن صيغة كل جذر كسري هي $\frac{p}{q}$ حيث أن $p$ هو عاملل للعدد الثابت و $q$ عامل للمعامل العددي الأكبر.

$p = \pm 1, \pm 2 q = \pm 1$

أوجد كل تركيبة من $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور الممكنة لكثير الحدود.

$\pm 1, \pm 2$

عوّض ب $1$ وبسّط التعبير. في هذه الحالة, التعبير يساوي ال $1$ ويعني ذلك أن $0$ هو أحد حلول كثير الحدود.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

عوّض ب $1$ في كثير الحدود.

$1^{3} + 1 - 2$

ارفع $1$ للقوة $3$ .

$1 + 1 - 2$

أضف $1$ و $1$ .

$2 - 2$

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

بما أن $1$ جذر معروف, قسم كثير الحدود على $x - 1$ لإيجاد كثير الحدود الباقي. يمكن استخدام كثير الحدود ذلك لإيجاد الحلول الباقية.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

قسّم $x^{3} + x - 2$ على $x - 1$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

جهّز كثير الحدود للتقسيم. إذا لم يكن هناك حد لكل أُس, أضف واحد بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

قسم الحد ذو الدرجة الأعلى في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذو الدرجة الأعلى في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

اضرب الناتج بالمقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

يجب طرح التعبير من المقسوم, لذلك غيّر كل اشارات $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

بعد تغيير الاشارات, أضف المقسوم الأخير من كثير الحدود المتضاعف لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

خذ الحد التالي من المقسوم الأصلي إلى الأسفل للمقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

قسم الحد ذو الدرجة الأعلى في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذو الدرجة الأعلى في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

اضرب الناتج بالمقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

يجب طرح التعبير من المقسوم, لذلك غيّر كل اشارات $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

بعد تغيير الاشارات, أضف المقسوم الأخير من كثير الحدود المتضاعف لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

خذ الحد التالي من المقسوم الأصلي إلى الأسفل للمقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

قسم الحد ذو الدرجة الأعلى في المقسوم $2 x$ على الحد ذو الدرجة الأعلى في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

اضرب الناتج بالمقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

يجب طرح التعبير من المقسوم, لذلك غيّر كل اشارات $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

بعد تغيير الاشارات, أضف المقسوم الأخير من كثير الحدود المتضاعف لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

بما أنَّ الباقي $0$ , النتيجة النهائية هي الحاصل.

$x^{2} + x + 2$

أعد كتابة $x^{3} + x - 2$ كمجموعة من العوامل.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0$

احذف الأقواس غير الضرورية.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

إذا كان أي عامل فردي في الطرف الأيسر للمعادلة يساوي $0$ , فالتعبير بأكمله $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0$

ضع $x - 1$ مساوٍ لِ $0$ وحل من أجل $x$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

قم بمساواة $x - 1$ ب $0$ .

$x - 1 = 0$

أضف $1$ لطرفي المعادلة.

$x = 1$

ضع $x^{2} + x + 2$ مساوٍ لِ $0$ وحل من أجل $x$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

قم بمساواة $x^{2} + x + 2$ ب $0$ .

$x^{2} + x + 2 = 0$

حل $x^{2} + x + 2 = 0$ من أجل $x$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استخدم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

عوّض بالقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = 2$ بالصيغة التربيعية وحل من أجل $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

بسّط.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بسّط البسط.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحد.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ ب $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ ب $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

اطرح $8$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $- 7$ بالشكل $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $\sqrt{- 1 (7)}$ بالشكل $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالشكل $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

اضرب $2$ ب $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

بسط التعبير وحل من أجل قسم $+$ من $\pm$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بسّط البسط.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحد.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ ب $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ ب $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

اطرح $8$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $- 7$ بالشكل $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $\sqrt{- 1 (7)}$ بالشكل $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالشكل $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

اضرب $2$ ب $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

أعد كتابة $- 1$ بالشكل $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

أخرج العامل $- 1$ من $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

أخرج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

انقل السالب إلى مقدمة الكسر.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

بسط التعبير وحل من أجل قسم $-$ من $\pm$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بسّط البسط.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحد.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ ب $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

اضرب $- 4$ ب $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

اطرح $8$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $- 7$ بالشكل $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $\sqrt{- 1 (7)}$ بالشكل $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

أعد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالشكل $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

اضرب $2$ ب $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

أعد كتابة $- 1$ بالشكل $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

أخرج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

أخرج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

انقل السالب إلى مقدمة الكسر.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

الحل النهائي هو مجموعة الحلين.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل $4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ صحيح.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

القيم التي تجعل المشتق يساوي $0$ هي $1$ .

$1$

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$ مساوٍ ل $0$ , نجد أن المجال الذي يحدد إذا كان $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ متزايد أو متناقص هو $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

عوّض بقيمة من المجال $(- \infty, 1)$ في المشتق لتحدد إذا كانالتابع متنزايد أو متناقص.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل المتغير $x$ ب $0$ في التعبير الجبري.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} + 4 (0) - 8$

بسّط النتيجة.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بسّط كل حد.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

رفع $0$ لأي قوة موجبة يُنتج $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 + 4 (0) - 8$

اضرب $4$ ب $0$ .

$f' (0) = 0 + 4 (0) - 8$

اضرب $4$ ب $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

بسّط عن طريق الإضافة والطرح.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 - 8$

اطرح $8$ من $0$ .

$f' (0) = - 8$

الحل المهائي هو $- 8$ .

$- 8$

عند $x = 0$ يكون المشتق $- 8$ . بما أن المشتق سالب, فالتابع متناقص على المجال $(- \infty, 1)$ .

متناقص على المجال $(- \infty, 1)$ بما أن $f' (x) < 0$

عوّض بقيمة من المجال $(1, \infty)$ في المشتق لتحدد إذا كانالتابع متنزايد أو متناقص.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل المتغير $x$ ب $2$ في التعبير الجبري.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 4 (2) - 8$

بسّط النتيجة.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

بسّط كل حد.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

ارفع $2$ للقوة $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 4 (2) - 8$

اضرب $4$ ب $8$ .

$f' (2) = 32 + 4 (2) - 8$

اضرب $4$ ب $2$ .

$f' (2) = 32 + 8 - 8$

بسّط عن طريق الإضافة والطرح.

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

أضف $32$ و $8$ .

$f' (2) = 40 - 8$

اطرح $8$ من $40$ .

$f' (2) = 32$

الحل المهائي هو $32$ .

$32$

عند $x = 2$ المشتق هو $32$ . بما أن المشتق موجب فالتابع متزايد على المجال $(1, \infty)$ .

متزايد على المجال $(1, \infty)$ بما أن $f' (x) > 0$

اكتب المجالات حسب تزايد وتناقص التابع.

متزايد على: $(1, \infty)$

متناقص على: $(- \infty, 1)$

أدخل مسألتك