حساب التفاضل والتكامل الأمثلة
,
خطوة 1
إذا كانت متصلة في الفترة وقابلة للاشتقاق في ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد في الفترة حيث إن . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند وميل الخط المار بالنقطتين و.
إذا كانت متصلة في
وإذا كانت قابلة للاشتقاق على ،
إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، في : .
خطوة 2
خطوة 2.1
نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.
ترميز الفترة:
ترميز بناء المجموعات:
خطوة 2.2
متصلة على .
الدالة متصلة.
الدالة متصلة.
خطوة 3
خطوة 3.1
أوجِد المشتق الأول.
خطوة 3.1.1
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 3.1.2
احسِب قيمة .
خطوة 3.1.2.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 3.1.2.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 3.1.2.3
اضرب في .
خطوة 3.1.3
احسِب قيمة .
خطوة 3.1.3.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، إذن مشتق بالنسبة إلى يساوي .
خطوة 3.1.3.2
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن هو حيث .
خطوة 3.1.3.3
اضرب في .
خطوة 3.1.4
أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.
خطوة 3.1.4.1
بما أن عدد ثابت بالنسبة إلى ، فإن مشتق بالنسبة إلى هو .
خطوة 3.1.4.2
أضف و.
خطوة 3.2
المشتق الأول لـ بالنسبة إلى هو .
خطوة 4
خطوة 4.1
نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.
ترميز الفترة:
ترميز بناء المجموعات:
خطوة 4.2
متصلة على .
الدالة متصلة.
الدالة متصلة.
خطوة 5
الدالة قابلة للاشتقاق على لأن المشتق متصل على .
الدالة قابلة للاشتقاق.
خطوة 6
تستوفي الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على وقابلة للاشتقاق على .
متصلة على وقابلة للاشتقاق على .
خطوة 7
خطوة 7.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 7.2
بسّط النتيجة.
خطوة 7.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 7.2.1.1
ارفع إلى القوة .
خطوة 7.2.1.2
اضرب في .
خطوة 7.2.1.3
اضرب في .
خطوة 7.2.2
بسّط بطرح الأعداد.
خطوة 7.2.2.1
اطرح من .
خطوة 7.2.2.2
اطرح من .
خطوة 7.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 8
خطوة 8.1
استبدِل المتغير بـ في العبارة.
خطوة 8.2
بسّط النتيجة.
خطوة 8.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 8.2.1.1
العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.
خطوة 8.2.1.2
اضرب في .
خطوة 8.2.1.3
اضرب في .
خطوة 8.2.2
بسّط عن طريق الجمع والطرح.
خطوة 8.2.2.1
أضف و.
خطوة 8.2.2.2
اطرح من .
خطوة 8.2.3
الإجابة النهائية هي .
خطوة 9
خطوة 9.1
بسّط .
خطوة 9.1.1
بسّط بَسْط الكسر.
خطوة 9.1.1.1
اضرب في .
خطوة 9.1.1.2
اطرح من .
خطوة 9.1.2
بسّط القاسم.
خطوة 9.1.2.1
اضرب في .
خطوة 9.1.2.2
أضف و.
خطوة 9.1.3
اقسِم على .
خطوة 9.2
انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على إلى المتعادل الأيمن.
خطوة 9.2.1
اطرح من كلا المتعادلين.
خطوة 9.2.2
اطرح من .
خطوة 9.3
اقسِم كل حد في على وبسّط.
خطوة 9.3.1
اقسِم كل حد في على .
خطوة 9.3.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 9.3.2.1
ألغِ العامل المشترك لـ .
خطوة 9.3.2.1.1
ألغِ العامل المشترك.
خطوة 9.3.2.1.2
اقسِم على .
خطوة 9.3.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 9.3.3.1
اقسِم على .
خطوة 10
يوجد خط مماس عند الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية و.
يوجد خط مماس عند الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية و
خطوة 11