微积分学 示例

求满足中值定理的条件
,
解题步骤 1
如果 在区间 上连续且在区间 上可微,则区间 内至少存在一个实数 使得 。中值定理表述的是曲线在 处的切线斜率与经过点 和点 的直线的斜率之间的关系。
如果 上连续
且如果 上可微,
然后存在至少一个点, 中的
解题步骤 2
检验 是否连续。
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解题步骤 2.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 2.2
上连续。
该函数连续。
该函数连续。
解题步骤 3
求导数。
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解题步骤 3.1
求一阶导数。
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解题步骤 3.1.1
求微分。
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解题步骤 3.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 3.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.1.2
计算
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解题步骤 3.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.1.2.3
乘以
解题步骤 3.1.3
使用常数法则求导。
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解题步骤 3.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 3.1.3.2
相加。
解题步骤 3.2
的一阶导数是
解题步骤 4
判断导数在 上是否连续。
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解题步骤 4.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 4.2
上连续。
该函数连续。
该函数连续。
解题步骤 5
该函数在 上可微,因为其导数在 上连续。
该函数可微。
解题步骤 6
满足中值定理的两个条件。它在 上连续,并且在 上可微。
上连续,在 上可微。
解题步骤 7
在区间 内计算
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解题步骤 7.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 7.2
化简结果。
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解题步骤 7.2.1
化简每一项。
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解题步骤 7.2.1.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 7.2.1.2
乘以
解题步骤 7.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 7.2.2.1
相加。
解题步骤 7.2.2.2
中减去
解题步骤 7.2.3
最终答案为
解题步骤 8
在区间 内计算
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解题步骤 8.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 8.2
化简结果。
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解题步骤 8.2.1
化简每一项。
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解题步骤 8.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 8.2.1.2
乘以
解题步骤 8.2.2
通过相加和相减进行化简。
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解题步骤 8.2.2.1
相加。
解题步骤 8.2.2.2
中减去
解题步骤 8.2.3
最终答案为
解题步骤 9
求解
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解题步骤 9.1
化简
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解题步骤 9.1.1
约去 的公因数。
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解题步骤 9.1.1.1
重写为
解题步骤 9.1.1.2
中分解出因数
解题步骤 9.1.1.3
中分解出因数
解题步骤 9.1.1.4
中分解出因数
解题步骤 9.1.1.5
中分解出因数
解题步骤 9.1.1.6
约去公因数。
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解题步骤 9.1.1.6.1
中分解出因数
解题步骤 9.1.1.6.2
约去公因数。
解题步骤 9.1.1.6.3
重写表达式。
解题步骤 9.1.2
化简分子。
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解题步骤 9.1.2.1
乘以
解题步骤 9.1.2.2
相加。
解题步骤 9.1.3
化简表达式。
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解题步骤 9.1.3.1
相加。
解题步骤 9.1.3.2
乘以
解题步骤 9.1.3.3
除以
解题步骤 9.2
将所有不包含 的项移到等式右边。
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解题步骤 9.2.1
从等式两边同时减去
解题步骤 9.2.2
中减去
解题步骤 9.3
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 9.3.1
中的每一项都除以
解题步骤 9.3.2
化简左边。
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解题步骤 9.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 9.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 9.3.2.1.2
除以
解题步骤 9.3.3
化简右边。
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解题步骤 9.3.3.1
除以
解题步骤 10
处存在一条切线,且与经过端点 的直线平行。
处存在一条切线,且与经过端点 的直线平行。
解题步骤 11
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