微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 4 x - 8$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 8$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3} + 4 x - 8$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 x - 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (x) - 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $4 (x^{3}) + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} + x - 2) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.2.2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} + 1 - 2$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 1 - 2$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

解题步骤 2.2.2.1.5

用 $x^{3} + x - 2$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

解题步骤 2.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x + 2$

解题步骤 2.2.2.1.6

将 $x^{3} + x - 2$ 书写为因数的集合。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.5

从 $i \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.5

从 $- i \sqrt{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ 。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} + 4 (0) - 8$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 4 \cdot 0 + 4 (0) - 8$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 4 (0) - 8$

解题步骤 5.2.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 - 8$

解题步骤 5.2.2.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$f' (0) = - 8$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 8$ 。

$- 8$

解题步骤 5.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- 8$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 4 (2) - 8$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 4 (2) - 8$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 32 + 4 (2) - 8$

解题步骤 6.2.1.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 32 + 8 - 8$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将 $32$ 和 $8$ 相加。

$f' (2) = 40 - 8$

解题步骤 6.2.2.2

从 $40$ 中减去 $8$ 。

$f' (2) = 32$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $32$ 。

$32$

解题步骤 6.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $32$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1, \infty)$

递减于： $(- \infty, 1)$

解题步骤 8

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例