微积分学示例

$f (x) = x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

将 $3 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $3 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = 3 x^{2}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = x^{3}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = 3$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0), (0, \infty)$

解题步骤 8

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