微积分学 示例

使用极限的定义求给定点处的切线
,
解题步骤 1
书写为一个函数。
解题步骤 2
判断给定点是否在给定函数的图像上。
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解题步骤 2.1
计算 处的值。
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解题步骤 2.1.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 2.1.2
化简结果。
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解题步骤 2.1.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 2.1.2.2
化简每一项。
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解题步骤 2.1.2.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 2.1.2.2.2
乘以
解题步骤 2.1.2.3
通过加上各数进行化简。
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解题步骤 2.1.2.3.1
相加。
解题步骤 2.1.2.3.2
相加。
解题步骤 2.1.2.4
最终答案为
解题步骤 2.2
由于 ,所以这个点在图像上。
该点在图像上
该点在图像上
解题步骤 3
切线的斜率为表达式的导数。
的导数
解题步骤 4
考思考一下导数的极限定义。
解题步骤 5
求定义的补集。
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解题步骤 5.1
计算函数在 处的值。
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解题步骤 5.1.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 5.1.2
化简结果。
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解题步骤 5.1.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 5.1.2.2
化简每一项。
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解题步骤 5.1.2.2.1
使用二项式定理。
解题步骤 5.1.2.2.2
运用分配律。
解题步骤 5.1.2.2.3
化简。
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解题步骤 5.1.2.2.3.1
乘以
解题步骤 5.1.2.2.3.2
乘以
解题步骤 5.1.2.2.4
去掉圆括号。
解题步骤 5.1.2.3
最终答案为
解题步骤 5.2
重新排序。
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解题步骤 5.2.1
移动
解题步骤 5.2.2
移动
解题步骤 5.2.3
移动
解题步骤 5.2.4
移动
解题步骤 5.2.5
移动
解题步骤 5.2.6
重新排序。
解题步骤 5.3
求定义的补集。
解题步骤 6
插入分量。
解题步骤 7
化简。
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解题步骤 7.1
化简分子。
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解题步骤 7.1.1
运用分配律。
解题步骤 7.1.2
化简。
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解题步骤 7.1.2.1
乘以
解题步骤 7.1.2.2
乘以
解题步骤 7.1.3
中减去
解题步骤 7.1.4
相加。
解题步骤 7.1.5
中减去
解题步骤 7.1.6
相加。
解题步骤 7.1.7
中减去
解题步骤 7.1.8
相加。
解题步骤 7.1.9
中分解出因数
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解题步骤 7.1.9.1
中分解出因数
解题步骤 7.1.9.2
中分解出因数
解题步骤 7.1.9.3
中分解出因数
解题步骤 7.1.9.4
进行 次方运算。
解题步骤 7.1.9.5
中分解出因数
解题步骤 7.1.9.6
中分解出因数
解题步骤 7.1.9.7
中分解出因数
解题步骤 7.1.9.8
中分解出因数
解题步骤 7.2
通过约去公因数来化简表达式。
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解题步骤 7.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 7.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 7.2.1.2
除以
解题步骤 7.2.2
化简表达式。
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解题步骤 7.2.2.1
移动
解题步骤 7.2.2.2
移动
解题步骤 7.2.2.3
重新排序。
解题步骤 8
趋于 时,利用极限的加法法则来分解极限。
解题步骤 9
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 10
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 11
因为项 对于 为常数,所以将其移动到极限外。
解题步骤 12
使用极限幂法则把 的指数 移到极限外。
解题步骤 13
计算 的极限值,当 趋近于 时此极限值为常数。
解题步骤 14
代入所有出现 的地方来计算极限值。
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解题步骤 14.1
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 14.2
代入 来计算 的极限值。
解题步骤 15
化简答案。
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解题步骤 15.1
化简每一项。
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解题步骤 15.1.1
乘以
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解题步骤 15.1.1.1
乘以
解题步骤 15.1.1.2
乘以
解题步骤 15.1.2
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 15.1.3
乘以
解题步骤 15.2
合并 中相反的项。
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解题步骤 15.2.1
相加。
解题步骤 15.2.2
相加。
解题步骤 16
求斜率 。在本例中,即
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解题步骤 16.1
去掉圆括号。
解题步骤 16.2
化简
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解题步骤 16.2.1
化简每一项。
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解题步骤 16.2.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 16.2.1.2
乘以
解题步骤 16.2.2
相加。
解题步骤 17
斜率为 ,该点是
解题步骤 18
使用直线方程的公式求 的值。
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解题步骤 18.1
使用直线方程的公式求
解题步骤 18.2
的值代入方程中。
解题步骤 18.3
的值代入方程中。
解题步骤 18.4
的值代入方程中。
解题步骤 18.5
的值。
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解题步骤 18.5.1
将方程重写为
解题步骤 18.5.2
乘以
解题步骤 18.5.3
将所有不包含 的项移到等式右边。
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解题步骤 18.5.3.1
从等式两边同时减去
解题步骤 18.5.3.2
中减去
解题步骤 19
现在已知 (斜率)和 (y 轴截距)的值,将其代入 以求直线方程。
解题步骤 20
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