微积分学示例

$y = 4 x^{2} + 6 x$ , $(- 3, 18)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 3$ 和 $y = 18$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{2} + 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x + 6 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$8 x + 6$

解题步骤 1.4

计算在 $x = - 3$ 处的导数。

$8 (- 3) + 6$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$- 24 + 6$

解题步骤 1.5.2

将 $- 24$ 和 $6$ 相加。

$- 18$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 18$ 和给定点 $(- 3, 18)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (18) = - 18 \cdot (x - (- 3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 18 \cdot (x + 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 18 = 0 + 0 - 18 \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 18 = - 18 \cdot (x + 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 18 = - 18 x - 18 \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$y - 18 = - 18 x - 54$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $18$ 。

$y = - 18 x - 54 + 18$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 54$ 和 $18$ 相加。

$y = - 18 x - 36$

解题步骤 3

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