微积分学 示例

解题步骤 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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解题步骤 1.1
求二阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.3
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.4
相加。
解题步骤 1.1.2
求二阶导数。
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解题步骤 1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.3
乘以
解题步骤 1.1.3
的二阶导数是
解题步骤 1.2
使二阶导数等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将二阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.2.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.2.2.1.2
除以
解题步骤 1.2.2.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.2.3.1
除以
解题步骤 1.2.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
解题步骤 1.2.4
化简
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解题步骤 1.2.4.1
重写为
解题步骤 1.2.4.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 1.2.4.3
正负
解题步骤 2
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 3
在二阶导数为零或无意义的 值附近建立区间。
解题步骤 4
将区间 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 4.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 4.2
化简结果。
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解题步骤 4.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 4.2.2
乘以
解题步骤 4.2.3
最终答案为
解题步骤 4.3
图像在区间 上向上凹,因为 为正数。
由于 为正,在 上为向上凹
由于 为正,在 上为向上凹
解题步骤 5
将区间 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 5.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 5.2
化简结果。
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解题步骤 5.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 5.2.2
乘以
解题步骤 5.2.3
最终答案为
解题步骤 5.3
图像在区间 上向上凹,因为 为正数。
由于 为正,在 上为向上凹
由于 为正,在 上为向上凹
解题步骤 6
当函数的二阶导数为负数时,其图像向下凹,当其二阶导数为正数时,其图像向上凹。
由于 为正,在 上为向上凹
由于 为正,在 上为向上凹
解题步骤 7
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