微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $6 x^{4} - 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $7 x^{4} + 14$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

解题步骤 3.6

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.6.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

解题步骤 3.6.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

解题步骤 3.7

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

解题步骤 3.8

将 $28 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{28}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

解题步骤 5

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.1.2

用 $24$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.1.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

解题步骤 6.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.5

计算 $24$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6.6

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

解题步骤 8.2

化简答案。

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解题步骤 8.2.1

用 $24 - 10 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

解题步骤 8.2.2

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

解题步骤 8.2.3

将 $24$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{28} \cdot 24$

解题步骤 8.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

解题步骤 8.2.4.2

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

解题步骤 8.2.4.3

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

解题步骤 8.2.4.4

重写表达式。

$\frac{1}{7} \cdot 6$

解题步骤 8.2.5

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{7}$

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