微积分学 示例

解题步骤 1
求二阶导数。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2
计算
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解题步骤 1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.3
乘以
解题步骤 1.2
求二阶导数。
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解题步骤 1.2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.2.2
计算
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解题步骤 1.2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.2.3
乘以
解题步骤 1.2.3
计算
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解题步骤 1.2.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.3.3
乘以
解题步骤 1.3
的二阶导数是
解题步骤 2
使二阶导数等于 ,然后求解方程
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解题步骤 2.1
将二阶导数设为等于
解题步骤 2.2
在等式两边都加上
解题步骤 2.3
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 2.3.1
中的每一项都除以
解题步骤 2.3.2
化简左边。
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解题步骤 2.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 2.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 2.3.2.1.2
除以
解题步骤 2.3.3
化简右边。
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解题步骤 2.3.3.1
约去 的公因数。
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解题步骤 2.3.3.1.1
中分解出因数
解题步骤 2.3.3.1.2
约去公因数。
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解题步骤 2.3.3.1.2.1
中分解出因数
解题步骤 2.3.3.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 2.3.3.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
解题步骤 2.5
化简
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解题步骤 2.5.1
重写为
解题步骤 2.5.2
的任意次方根都是
解题步骤 2.5.3
乘以
解题步骤 2.5.4
合并和化简分母。
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解题步骤 2.5.4.1
乘以
解题步骤 2.5.4.2
进行 次方运算。
解题步骤 2.5.4.3
进行 次方运算。
解题步骤 2.5.4.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.4.5
相加。
解题步骤 2.5.4.6
重写为
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解题步骤 2.5.4.6.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 2.5.4.6.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 2.5.4.6.3
组合
解题步骤 2.5.4.6.4
约去 的公因数。
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解题步骤 2.5.4.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 2.5.4.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 2.5.4.6.5
计算指数。
解题步骤 2.6
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 2.6.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 2.6.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 2.6.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 3
求二阶导数为 的点。
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解题步骤 3.1
代入 以求 的值。
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解题步骤 3.1.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 3.1.2
化简结果。
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解题步骤 3.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 3.1.2.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 3.1.2.1.2
化简分子。
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解题步骤 3.1.2.1.2.1
重写为
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解题步骤 3.1.2.1.2.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 3.1.2.1.2.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 3.1.2.1.2.1.3
组合
解题步骤 3.1.2.1.2.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2
约去公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.4
除以
解题步骤 3.1.2.1.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 3.1.2.1.4.2
约去公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 3.1.2.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.1.5
运用乘积法则。
解题步骤 3.1.2.1.6
重写为
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解题步骤 3.1.2.1.6.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 3.1.2.1.6.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 3.1.2.1.6.3
组合
解题步骤 3.1.2.1.6.4
约去 的公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.1.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.1.6.5
计算指数。
解题步骤 3.1.2.1.7
进行 次方运算。
解题步骤 3.1.2.1.8
约去 的公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.8.1
中分解出因数
解题步骤 3.1.2.1.8.2
约去公因数。
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解题步骤 3.1.2.1.8.2.1
中分解出因数
解题步骤 3.1.2.1.8.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.1.2.1.8.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.1.2.1.9
组合
解题步骤 3.1.2.1.10
将负号移到分数的前面。
解题步骤 3.1.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 3.1.2.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
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解题步骤 3.1.2.3.1
乘以
解题步骤 3.1.2.3.2
乘以
解题步骤 3.1.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.1.2.5
化简分子。
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解题步骤 3.1.2.5.1
乘以
解题步骤 3.1.2.5.2
中减去
解题步骤 3.1.2.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 3.1.2.7
最终答案为
解题步骤 3.2
通过将 代入 中求得的点为 。这个点可能是一个拐点。
解题步骤 3.3
代入 以求 的值。
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解题步骤 3.3.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 3.3.2
化简结果。
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解题步骤 3.3.2.1
化简每一项。
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解题步骤 3.3.2.1.1
使用幂法则 分解指数。
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解题步骤 3.3.2.1.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 3.3.2.1.1.2
运用乘积法则。
解题步骤 3.3.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 3.3.2.1.3
乘以
解题步骤 3.3.2.1.4
化简分子。
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解题步骤 3.3.2.1.4.1
重写为
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解题步骤 3.3.2.1.4.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 3.3.2.1.4.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 3.3.2.1.4.1.3
组合
解题步骤 3.3.2.1.4.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2
约去公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.4
除以
解题步骤 3.3.2.1.4.2
进行 次方运算。
解题步骤 3.3.2.1.5
进行 次方运算。
解题步骤 3.3.2.1.6
约去 的公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.6.1
中分解出因数
解题步骤 3.3.2.1.6.2
约去公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.6.2.1
中分解出因数
解题步骤 3.3.2.1.6.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.3.2.1.6.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.3.2.1.7
使用幂法则 分解指数。
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解题步骤 3.3.2.1.7.1
运用乘积法则。
解题步骤 3.3.2.1.7.2
运用乘积法则。
解题步骤 3.3.2.1.8
进行 次方运算。
解题步骤 3.3.2.1.9
乘以
解题步骤 3.3.2.1.10
重写为
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解题步骤 3.3.2.1.10.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 3.3.2.1.10.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 3.3.2.1.10.3
组合
解题步骤 3.3.2.1.10.4
约去 的公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.10.4.1
约去公因数。
解题步骤 3.3.2.1.10.4.2
重写表达式。
解题步骤 3.3.2.1.10.5
计算指数。
解题步骤 3.3.2.1.11
进行 次方运算。
解题步骤 3.3.2.1.12
约去 的公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.12.1
中分解出因数
解题步骤 3.3.2.1.12.2
约去公因数。
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解题步骤 3.3.2.1.12.2.1
中分解出因数
解题步骤 3.3.2.1.12.2.2
约去公因数。
解题步骤 3.3.2.1.12.2.3
重写表达式。
解题步骤 3.3.2.1.13
组合
解题步骤 3.3.2.1.14
将负号移到分数的前面。
解题步骤 3.3.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 3.3.2.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
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解题步骤 3.3.2.3.1
乘以
解题步骤 3.3.2.3.2
乘以
解题步骤 3.3.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 3.3.2.5
化简分子。
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解题步骤 3.3.2.5.1
乘以
解题步骤 3.3.2.5.2
中减去
解题步骤 3.3.2.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 3.3.2.7
最终答案为
解题步骤 3.4
通过将 代入 中求得的点为 。这个点可能是一个拐点。
解题步骤 3.5
确定可能是拐点的点。
解题步骤 4
分解 到各点周围的区间中,这些点有可能是拐点。
解题步骤 5
将区间 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。
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解题步骤 5.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 5.2
化简结果。
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解题步骤 5.2.1
化简每一项。
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解题步骤 5.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 5.2.1.2
乘以
解题步骤 5.2.2
中减去
解题步骤 5.2.3
最终答案为
解题步骤 5.3
处,二阶导数为 。由于其值为正,二阶导数在区间 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 6
将区间 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。
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解题步骤 6.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 6.2
化简结果。
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解题步骤 6.2.1
化简每一项。
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解题步骤 6.2.1.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 6.2.1.2
乘以
解题步骤 6.2.2
中减去
解题步骤 6.2.3
最终答案为
解题步骤 6.3
,二阶导数为 。因为该值是负数,所以该二阶导数在区间 上递减
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 7
将区间 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。
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解题步骤 7.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 7.2
化简结果。
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解题步骤 7.2.1
化简每一项。
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解题步骤 7.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 7.2.1.2
乘以
解题步骤 7.2.2
中减去
解题步骤 7.2.3
最终答案为
解题步骤 7.3
处,二阶导数为 。由于其值为正,二阶导数在区间 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
解题步骤 9
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