Đại số tuyến tính Ví dụ

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Bước 1

Đặt tên cho từng vectơ.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Bước 2

Vectơ trực giao đầu tiên là vectơ đầu tiên trong tập vectơ đã cho.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Bước 3

Sử dụng công thức để tìm các vectơ trực giao còn lại.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Bước 4

Tìm vectơ trực giao của ${v⃗}_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng công thức để tìm ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Bước 4.2

Thay $(0, 1, 1)$ bằng ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Bước 4.3

Tìm ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Bước 4.3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1.1

Nhân $0$ với $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Bước 4.3.1.2.1.2

Nhân $1$ với $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Bước 4.3.1.2.1.3

Nhân $1$ với $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Bước 4.3.1.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Bước 4.3.1.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Bước 4.3.2

Tìm độ dài của ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Bước 4.3.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Bước 4.3.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Bước 4.3.2.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Bước 4.3.2.2.5

Cộng $2$ và $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Bước 4.3.3

Tìm hình chiếu của ${u⃗}_{2}$ lên ${v⃗}_{1}$ bằng công thức phép chiếu.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Bước 4.3.4

Thay $2$ bằng ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Bước 4.3.5

Thay $\sqrt{3}$ bằng $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Bước 4.3.6

Thay $(1, 1, 1)$ bằng ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7.1.4.2

Viết lại biểu thức.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7.1.5

Tính số mũ.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Bước 4.3.7.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với mỗi phần tử của ma trận.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 4.3.7.3

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.3.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 4.3.7.3.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 4.3.7.3.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Bước 4.4

Thay phép chiếu.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Kết hợp mỗi thành phần của các vectơ.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Bước 4.5.2

Trừ $\frac{2}{3}$ khỏi $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Bước 4.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Bước 4.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Bước 4.5.5

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Bước 4.5.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 4.5.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Bước 4.5.8

Trừ $2$ khỏi $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Bước 5

Tìm cơ sở trực chuẩn bằng cách chia từng vectơ trực giao cho độ dài tương ứng.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Bước 6

Tìm vectơ đơn vị của $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ trong đó ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để tìm vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ $v⃗$ , hãy chia cho độ dài của $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Bước 6.2

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Bước 6.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Bước 6.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Bước 6.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Bước 6.3.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\sqrt{3}$

Bước 6.4

Chia vectơ cho độ dài của nó.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Bước 6.5

Chia từng phần tử trong vectơ cho $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Bước 7

Tìm vectơ đơn vị của $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ trong đó ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để tìm vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ $v⃗$ , hãy chia cho độ dài của $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Bước 7.2

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.3

Nhân $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ với $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Bước 7.3.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Bước 7.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Bước 7.3.11

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Bước 7.3.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Bước 7.3.13

Cộng $4$ và $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Bước 7.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Bước 7.3.15

Cộng $5$ và $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Bước 7.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Bước 7.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Bước 7.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Bước 7.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Bước 7.3.17

Viết lại $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Bước 7.4

Chia vectơ cho độ dài của nó.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Bước 7.5

Chia từng phần tử trong vectơ cho $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Bước 7.6.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Bước 7.6.8

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Bước 8

Thay các giá trị đã biết.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

Nhập bài toán CỦA BẠN