Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Paso 2.2

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Reordena $e^{x}$ y $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Paso 6.3

Reordena $e^{x}$ y $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Paso 6.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Paso 6.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.6

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.6.2

Multiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Paso 6.7

Al resolver $\int e^{x} \sin (x) d x$ , obtenemos que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Paso 6.8

Reescribe $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7.1.2

Multiplica $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

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Paso 7.1.2.1

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7.1.2.2

Combina $\frac{\sin (x)}{2}$ y $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 7.1.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

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Paso 7.1.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Paso 7.1.3.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Paso 7.1.4

Reordena los factores en $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.2

Combinar.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.3.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ al numerador.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.6.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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