Cálculo Ejemplos

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Paso 1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Paso 1.3.2

Diferencia.

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Paso 1.3.2.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Paso 1.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.3.1

Multiplica $k$ por $1$ .

$\cos (k x) k$

Paso 1.3.2.3.2

Reordena los factores de $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = k \cos (k x)$

Paso 2

Obtén $y''$ .

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Paso 2.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Paso 2.2

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k \cos (k x)$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Paso 2.4

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.6

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Paso 2.11

Reordena los factores de $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Paso 3

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Paso 4

Sustituye $y$ por $\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Paso 5

Resuelve $k$

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Paso 5.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 k^{2} y = - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 k^{2} y = - y$ por $- 3 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 k^{2} y = - y$ por $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $k^{2}$ por $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.3.3.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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