Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.1.2

Factoriza $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.5

Multiplica $v^{- 1}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.1.5.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.6

Simplifica $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.2.1.8

Multiplica $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Paso 6.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Paso 6.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $v^{- 2}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.3.3.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

Paso 6.1.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

Paso 6.1.3.3.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

Paso 6.1.3.4

Simplifica $- e^{x} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

Paso 6.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 6.2.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 6.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 6.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

Paso 6.3.3

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

Paso 6.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

Paso 6.3.3.3

Suma $x$ y $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

Paso 6.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

Paso 6.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

Paso 6.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

Paso 6.7

Integra el lado derecho.

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Paso 6.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

Paso 6.7.2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.7.2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.7.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.7.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.7.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.7.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 6.7.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 6.7.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 6.7.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 6.7.6

Simplifica.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 6.7.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Paso 6.8

Divide cada término en $e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 6.8.1

Divide cada término en $e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 6.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{x}$ .

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Paso 6.8.3.1.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $- \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.3.1.1.2.4

Divide $- \frac{1}{2} e^{x}$ por $1$ .

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 6.8.3.1.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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