微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

解题步骤 1

定义 $f (t, y)$ ，使 $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ 。

$f (t, y) = e^{t}$

解题步骤 2

求 $f (0, 1)$ 。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $y$ 。

$f (0, 1) = e^{0}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

使用近似值替换 $e$ 。

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

解题步骤 2.2.2

对 $2.71828182$ 进行 $0$ 次方运算。

$f (0, 1) = 1$

解题步骤 3

使用递归公式 $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ 求 $y_{1}$ 。

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解题步骤 3.1

替换。

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $0.5$ 乘以 $1$ 。

$y_{1} = 1 + 0.5$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 和 $0.5$ 相加。

$y_{1} = 1.5$

解题步骤 4

使用递归公式 $t_{1} = t_{0} + h$ 求 $t_{1}$ 。

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解题步骤 4.1

替换。

$t_{1} = 0 + 0.5$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $0.5$ 相加。

$t_{1} = 0.5$

解题步骤 5

求 $f (0.5, 1.5)$ 。

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解题步骤 5.1

将 $0.5$ 代入 $t$ ，将 $1.5$ 代入 $y$ 。

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

使用近似值替换 $e$ 。

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

解题步骤 5.2.2

对 $2.71828182$ 进行 $0.5$ 次方运算。

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

解题步骤 6

使用递归公式 $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ 求 $y_{2}$ 。

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解题步骤 6.1

替换。

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $0.5$ 乘以 $1.64872127$ 。

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

解题步骤 6.2.2

将 $1.5$ 和 $0.82436063$ 相加。

$y_{2} = 2.32436063$

解题步骤 7

使用递归公式 $t_{2} = t_{1} + h$ 求 $t_{2}$ 。

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解题步骤 7.1

替换。

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

解题步骤 7.2

将 $0.5$ 和 $0.5$ 相加。

$t_{2} = 1$

解题步骤 8

以同样的方式继续，直到近似计算出所需值。

解题步骤 9

在表格中列出近似值。

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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