微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{4 y - 3}$ 。

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

解题步骤 1.4

约去 $4 y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 4 y - 3$ 。然后使 $d u = 4 d y$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 4 y - 3$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $4 y - 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $4 y - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [4 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.1.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $4 y - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (| 4 y - 3 |)$ 。

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

解题步骤 3.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

化简 $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

解题步骤 3.4.1.1.2

去掉 ${| x |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

解题步骤 3.4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

解题步骤 3.5

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

解题步骤 3.6

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

解题步骤 3.7

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.7.1

将方程重写为 $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ 。

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

解题步骤 3.7.2

两边同时乘以 $x^{4}$ 。

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

解题步骤 3.7.3

化简。

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解题步骤 3.7.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.7.3.1.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

解题步骤 3.7.3.1.1.2

重写表达式。

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

解题步骤 3.7.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.7.3.2.1

将 $e^{4 C} x^{4}$ 中的因式重新排序。

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

解题步骤 3.7.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.7.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

解题步骤 3.7.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

解题步骤 3.7.4.3

将 $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.7.4.3.1

将 $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.7.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.4.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.7.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ 。

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

解题步骤 6.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

解题步骤 6.3.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.4

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$C = 1$

解题步骤 7

代入 $1$ 替换 $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $1$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 7.2

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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