Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0$

Этап 1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{6}{1}$

Этап 2.3.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$d = 6$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $144$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 6)}^{2} - 36$ .

${(x + 6)}^{2} - 36$

Этап 3

Подставим ${(x + 6)}^{2} - 36$ вместо $x^{2} + 12 x$ в уравнение $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

${(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3$

Этап 4

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

${(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36$

Этап 5

Составим полный квадрат для $- y^{2} - 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 6$

Этап 5.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 6$ в виде $- - 6$ .

$d = - - 6$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$d = 6$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $144$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Этап 5.4.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$e = 36$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y + 6)}^{2} + 36$ .

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

Этап 6

Подставим $- {(y + 6)}^{2} + 36$ вместо $- y^{2} - 12 y$ в уравнение $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36$

Этап 7

Перенесем $36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36$

Этап 8

Упростим $3 + 36 - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $3$ и $36$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36$

Этап 8.2

Вычтем $36$ из $39$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

Этап 9

Разделим каждый член на $3$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1$

Введите СВОЮ задачу