Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x - y = 0$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Этап 3

Подставим ${(x + 1)}^{2} - 1$ вместо $x^{2} + 2 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - y = - 1$

Этап 4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - y = - 1 + 1$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 6

Подставим ${(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ вместо $y^{2} - y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 2 x - y = - 1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = - 1 + 1$

Этап 7

Перенесем $- \frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{4}$ к обеим частям.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = - 1 + 1 + \frac{1}{4}$

Этап 8

Упростим $- 1 + 1 + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1}{1} + 1 + \frac{1}{4}$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{1}{4}$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{1}{4}$

Этап 8.1.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4}$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 8.1.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 1 \cdot 4 + 4 + 1}{4}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{- 4 + 4 + 1}{4}$

Этап 8.3.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0 + 1}{4}$

Этап 8.3.3

Добавим $0$ и $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

Введите СВОЮ задачу