미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

단계 2.2

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

단계 2.2.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

단계 2.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 6.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

단계 6.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

단계 6.5

간단히 합니다.

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

단계 6.6

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

단계 7

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$e^{2 x}$ 및 $e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1.1

$\frac{1}{2} e^{2 x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{2} e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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