미적분 예제

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Step 1

Find $\frac{\partial M}{\partial y}$ where $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

Differentiate $M$ with respect to $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

합의 법칙에 의해 $\sin (y) + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

$\sin (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\cos (y)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

$\cos (y)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Step 2

Find $\frac{\partial N}{\partial x}$ where $N (x, y) = x \cos (y)$ .

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Differentiate $N$ with respect to $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

$\cos (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x \cos (y)$ 의 미분은 $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Step 3

Check that $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $\cos (y)$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $\cos (y)$ 을 대입합니다.

$\cos (y) = \cos (y)$

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\cos (y) = \cos (y)$ 은 항등식입니다.

Step 4

Set $f (x, y)$ equal to the integral of $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Step 5

Integrate $N (x, y) = x \cos (y)$ to find $f (x, y)$ .

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$x$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $x$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

$\cos (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\sin (y)$ 입니다.

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

간단히 합니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Step 6

Since the integral of $g (x)$ will contain an integration constant, we can replace $C$ with $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Step 7

Set $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Step 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

Differentiate $f$ with respect to $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

합의 법칙에 의해 $x \sin (y) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sin (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x \sin (y)$ 의 미분은 $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

$\sin (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Differentiate using the function rule which states that the derivative of $g (x)$ is $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Step 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} = x$

Step 10

Find the antiderivative of $x$ to find $g (x)$ .

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Integrate both sides of $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x d x$

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Step 11

Substitute for $g (x)$ in $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Step 12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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