미적분 예제

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} y + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$3 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x^{2} y$ 의 미분은 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

단계 2

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 2 x y + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x y$ 의 미분은 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

단계 2.4.2

$3 x^{2} + 2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 x^{2} + 2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 x^{2} + 2 y$ 을 대입합니다.

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

단계 5

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

단계 5.2

$3 y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3 y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

단계 5.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

단계 5.5

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$x^{3}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y x^{3}$ 의 미분은 $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.3.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.4.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.4.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 8.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x^{3}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

단계 9.1.2

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

단계 9.1.3

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.3.1

$x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

단계 9.1.3.2

$2 x y + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

단계 9.1.3.3

$2 x y$ 에서 $2 x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

단계 9.1.3.4

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 3$

단계 10

$3$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 3$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 3 d y$

단계 10.3

상수 규칙을 적용합니다.

$g (y) = 3 y + C$

단계 11

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

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