미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ , $(1, 1)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ 라고 가정합니다.

단계 2

함수가 $(1, 1)$ 근처에서 연속인지 확인합니다.

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단계 2.1

$(1, 1)$ 값을 $\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ 에 대입합니다.

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단계 2.1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

단계 2.1.2

$y$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

단계 2.2

음수나 0이 있는 로그가 없고, 0이나 음의 피개법수가 있는 짝수 근호가 없고, 분모에 0이 있는 분수가 없기 때문에 이 함수는 $(1, 1)$ 의 $x$ 값 주변에서 열린 구간에 연속입니다.

연속

단계 3

$y$ 에 대하여 편미분을 구합니다.

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단계 3.1

편미분을 구합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

단계 3.2

$2 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x^{2} y^{2}$ 의 미분은 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

단계 3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

단계 4

$y$ 에 대하여 편미분이 $(1, 1)$ 근처에서 연속되는지 확인합니다.

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단계 4.1

$y$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$4 x^{2} \cdot 1$

단계 4.2

음수나 0이 있는 로그가 없고, 0이나 음의 피개법수가 있는 짝수 근호가 없고, 분모에 0이 있는 분수가 없기 때문에 이 함수는 $(1, 1)$ 의 $y$ 값 주변에서 열린 구간에 연속입니다.

연속

단계 5

$y$ 에 대해여 함수와 그 편미분 둘 다 $(1, 1)$ 의 $x$ 값 주변의 열린 구간에서 연속입니다.

유일한 해