미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Step 1

Separate the variables.

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Multiply both sides by $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

간단히 합니다.

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분모를 간단히 합니다.

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$1$ 을(를) $1^{2}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 그러면 $a = 1$ 이므로 $b = y$ 입니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

$1 - y^{2}$ 에 $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ 을 곱합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

분자를 간단히 합니다.

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$1$ 을(를) $1^{2}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 그러면 $a = 1$ 이므로 $b = y$ 입니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

$1 + y$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

수식을 다시 씁니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

식을 다시 씁니다.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Step 2

Integrate both sides.

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Set up an integral on each side.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Integrate the left side.

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하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Apply the constant rule.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Since $- 1$ is constant with respect to $y$ , move $- 1$ out of the integral.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

적분 공식에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

간단히 합니다.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

항을 다시 배열합니다.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

적분 공식에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Group the constant of integration on the right side as $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

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