Ensembles finis Exemples Équations et inégalités

Simplifier

$\frac{4 x + 5}{x} > 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4 x + 5}{x} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 3$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0$

Étape 2.4

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x + 5}{x} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 5$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 5$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{x + 5}{x}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 5}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$x > 0$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $3.375$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $1.5$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4 (2) + 5}{2} > 3$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $6.5$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $x > 0$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 5 or x > 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

Étape 12

Saisissez VOTRE problème