Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 3 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$4 - 6$

Paso 2.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$- 2$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $- \frac{1}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Paso 7.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]$

Paso 7.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]$

Paso 7.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Paso 7.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

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