Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los eigenvectores.

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Paso 1.1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 1.1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 1.1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.1.4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 1.1.4.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3.3

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3.5

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.4.3.6

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.1.5

Obtén el determinante.

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Paso 1.1.5.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna $3$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1.5.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.1.5.1.3

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.4

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.5

El elemento menor de $a_{23}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.6

Multiplica el elemento $a_{23}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.7

El elemento menor de $a_{33}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.8

Multiplica el elemento $a_{33}$ por su cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Paso 1.1.5.1.9

Suma los términos juntos.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Paso 1.1.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.1.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.4.2.1.1

Expande $(5 - λ) (5 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.2.2

Resta $5 λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Paso 1.1.5.4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Paso 1.1.5.4.2.2

Resta $4$ de $25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Paso 1.1.5.4.2.3

Reordena $- 10 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Paso 1.1.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.1.5.5.1

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

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Paso 1.1.5.5.1.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Paso 1.1.5.5.1.2

Suma $0$ y $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Paso 1.1.5.5.2

Expande $(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.5.3.1

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.2

Multiplica $4$ por $21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.5.3.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.1.5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.5.3.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Paso 1.1.5.5.3.7

Multiplica $21$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Paso 1.1.5.5.4

Suma $4 λ^{2}$ y $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Paso 1.1.5.5.5

Resta $21 λ$ de $- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Paso 1.1.5.5.6

Mueve $84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Paso 1.1.5.5.7

Mueve $- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Paso 1.1.5.5.8

Reordena $14 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Paso 1.1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Paso 1.1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.7.1.1

Factoriza $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1.7.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 1.1.7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Paso 1.1.7.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.1.7.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.5

Multiplica $14$ por $9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.6

Suma $- 27$ y $126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.7

Multiplica $- 61$ por $3$ .

$99 - 183 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.8

Resta $183$ de $99$ .

$- 84 + 84$

Paso 1.1.7.1.1.3.9

Suma $- 84$ y $84$ .

$0$

Paso 1.1.7.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Paso 1.1.7.1.1.5

Divide $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ por $λ - 3$ .

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Paso 1.1.7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Paso 1.1.7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Paso 1.1.7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Paso 1.1.7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Paso 1.1.7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Paso 1.1.7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Paso 1.1.7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $11 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Paso 1.1.7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Paso 1.1.7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $11 λ^{2} - 33 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Paso 1.1.7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Paso 1.1.7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Paso 1.1.7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 28 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Paso 1.1.7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Paso 1.1.7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 28 λ + 84$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Paso 1.1.7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Paso 1.1.7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Paso 1.1.7.1.1.6

Escribe $- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ como un conjunto de factores.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Paso 1.1.7.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.7.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.7.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 1.1.7.1.2.1.1.1

Factoriza $11$ de $11 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Paso 1.1.7.1.2.1.1.2

Reescribe $11$ como $4$ más $7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Paso 1.1.7.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Paso 1.1.7.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.7.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Paso 1.1.7.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Paso 1.1.7.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Paso 1.1.7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Paso 1.1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Paso 1.1.7.3

Establece $λ - 3$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.1.7.3.1

Establece $λ - 3$ igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Paso 1.1.7.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 3$

Paso 1.1.7.4

Establece $- λ + 4$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Establece $- λ + 4$ igual a $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Paso 1.1.7.4.2

Resuelve $- λ + 4 = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.1.7.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- λ = - 4$

Paso 1.1.7.4.2.2

Divide cada término en $- λ = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.1.7.4.2.2.1

Divide cada término en $- λ = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.1.7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.7.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.1.7.4.2.2.2.2

Divide $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.1.7.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.7.4.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$λ = 4$

Paso 1.1.7.5

Establece $λ - 7$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Establece $λ - 7$ igual a $0$ .

$λ - 7 = 0$

Paso 1.1.7.5.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 7$

Paso 1.1.7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ verdadera.

$λ = 3, 4, 7$

Paso 1.2

El vector propio es igual al espacio nulo de la matriz menos la cantidad de veces del valor propio de la matriz de identidades en donde $N$ es el espacio nulo y $I$ es la matriz de identidades.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Paso 1.3

Obtén el vector propio con el valor propio $λ = 3$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.3.2

Simplifica.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Multiplica $- 3$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.6

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.7

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.8

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.3.2.1.2.9

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3

Simplifica cada elemento.

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Paso 1.3.2.3.1

Resta $3$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.4

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.5

Resta $3$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.7

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 1.3.2.3.9

Resta $3$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3.3

Obtén el espacio nulo cuando $λ = 3$ .

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Paso 1.3.3.1

Escribe como una matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 1.3.3.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 1.3.3.2.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.4

Intercambia $R_{3}$ por $R_{2}$ para poner una entrada que no sea cero en $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.5

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{5}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.5.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{5}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.6

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.6.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.3.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Paso 1.3.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Paso 1.3.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Paso 1.3.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 1.3.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 1.4

Obtén el vector propio con el valor propio $λ = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.6

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.7

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.8

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.4.2.1.2.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3

Simplifica cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.3.1

Resta $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.4

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.5

Resta $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.7

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 1.4.2.3.9

Resta $4$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3

Obtén el espacio nulo cuando $λ = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Escribe como una matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.2

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.3

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.4

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.4.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.5

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.5.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.2.5.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Paso 1.4.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 1.4.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 1.5

Obtén el vector propio con el valor propio $λ = 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.1

Multiplica $- 7$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.2

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.3

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.4

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.5

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.6

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.7

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.8

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 1.5.2.1.2.9

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3

Simplifica cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.1

Resta $7$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.4

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.5

Resta $7$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.7

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Paso 1.5.2.3.9

Resta $7$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Paso 1.5.3

Obtén el espacio nulo cuando $λ = 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Escribe como una matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.4

Intercambia $R_{3}$ por $R_{2}$ para poner una entrada que no sea cero en $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.5

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 1.5.3.2.5.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.6

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 1.5.3.2.6.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1.5.3.3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Paso 1.5.3.4

Escribe un vector de solución mediante la resolución en términos de variables libres en cada fila.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Paso 1.5.3.5

Escribe la solución como una combinación lineal de vectores.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 1.5.3.6

Escribe como un conjunto de soluciones.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 1.5.3.7

La solución es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 1.6

El espacio propio de $A$ es la lista del espacio vectorial para cada valor propio.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 2

Define $P$ como una matriz de los eigenvectores.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la inversa de $P$ .

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Paso 3.1

Obtén el determinante.

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Paso 3.1.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna $2$ por su cofactor y suma.

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Paso 3.1.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.1.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 3.1.1.3

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.1.4

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.1.5

El elemento menor de $a_{22}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.1.6

Multiplica el elemento $a_{22}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.1.7

El elemento menor de $a_{32}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.1.8

Multiplica el elemento $a_{32}$ por su cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.1.9

Suma los términos juntos.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Paso 3.1.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.1.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Paso 3.1.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Paso 3.1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 3.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Paso 3.1.4.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Paso 3.1.4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Paso 3.1.5

Simplifica el determinante.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1 (- \frac{2}{5})$ .

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Paso 3.1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Paso 3.1.5.1.2

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Paso 3.1.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Paso 3.1.5.3

Suma $0$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Paso 3.2

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 3.3

Establece la matriz $3 \times 6$ donde la mitad izquierda es la matriz original y la mitad derecha es su matriz de identidades.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- 5$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 3.4.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $- 5$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 3.4.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 3.4.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Paso 3.4.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3.4.4

Intercambia $R_{3}$ por $R_{2}$ para poner una entrada que no sea cero en $2, 2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.5

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 3.4.5.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Paso 3.4.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.6

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 3.4.6.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.6.2

Simplifica $R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.7

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 3.4.7.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.4.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.5

La mitad derecha de la forma escalonada de fila reducida es la inversa.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4

Usa la transformación de similitudes para obtener la matriz diagonal $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Paso 5

Sustituye las matrices.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

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Paso 6.1.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $3 \times 3$ y la segunda matriz es $3 \times 3$ .

Paso 6.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6.1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 6.2

Multiplica $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 6.2.1

Paso 6.2.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 6.2.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

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