حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

خطوة 1

بالنسبة إلى سلسلة لانهائية $\sum_{}^{} a_{n}$ ، أوجِد حد $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ لتحديد التقارب باستخدام اختبار الجذر لكوشي.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

خطوة 2

عوّض عن $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الأُس إلى القيمة المطلقة.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

خطوة 3.3

بسّط.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل النهاية إلى داخل علامتَي القيمة المطلقة.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

خطوة 4.2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $n$ في القاسم، وهي $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $n$ و $n^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أخرِج العامل $n$ من $2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $n$ من $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $n^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $n^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.2.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.3.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{n^{2}}$ يقترب من $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.5.3

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

خطوة 4.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{n^{3}}$ يقترب من $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

خطوة 4.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

خطوة 4.7.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

خطوة 4.7.2

أضف $5$ و $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

خطوة 4.7.3

$\frac{1}{5}$ تساوي تقريبًا $0.2$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$L = \frac{1}{5}$

خطوة 4.8

اقسِم $1$ على $5$ .

$L = 0.2$

خطوة 5

في حال $L < 1$ ، فإن السلسلة متقاربة تمامًا. وفي حال $L > 1$ ، فإن السلسلة متباعدة. أما في حال $L = 1$ ، فإن الاختبار غير قاطع. وفي هذه الحالة، يكون $L < 1$ .

السلسلة متقاربة في $[1, \infty)$

إدخال مسألتك