حساب التفاضل والتكامل الأمثلة المتتاليات والمتسلسلات

حدد ما إذا كانت السلسلة متباعدة

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

خطوة 1

تكون السلسلة متباعدة إذا كان حد التسلسل مثل $n$ الذي يقترب من $\infty$ غير موجود أو لا يساوي $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $n$ في القاسم، وهي $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $n^{2}$ و $n^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أخرِج العامل $n^{2}$ من $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $n^{2}$ من $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $n^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $n^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.2.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.2.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{n}$ يقترب من $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.4.3

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

خطوة 2.4.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

خطوة 2.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{n^{3}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 2.6.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

خطوة 2.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

خطوة 2.6.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

خطوة 2.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2}$

خطوة 3

الحد موجود ولا يساوي $0$ ، لذا فإن السلسلة متباعدة.

إدخال مسألتك