حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 5 x + 6$ , $y = x - 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x$ من $- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

خطوة 1.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف $6$ و $2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل $x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $8$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

خطوة 1.2.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.7.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 4, 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = (4) - 2$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = (4) - 2$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4 - 2$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (4) - 2$

خطوة 1.3.2.3

اطرح $2$ من $4$ .

$y = 2$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = (2) - 2$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = (2) - 2$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 - 2$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (2) - 2$

خطوة 1.4.2.3

اطرح $2$ من $2$ .

$y = 0$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

خطوة 3.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $x$ و $5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

خطوة 3.3.2

اطرح $6$ من $- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.11

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

خطوة 3.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

خطوة 3.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

خطوة 3.12.3

احسِب قيمة $- 8 x$ في $4$ وفي $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6

اطرح $2$ من $8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.7

اضرب $6$ في $6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.9

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.11

اطرح $8$ من $64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.12

لكتابة $36$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.13

اجمع $36$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.15.1

اضرب $36$ في $3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.15.2

اطرح $56$ من $108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.16

اضرب $- 8$ في $4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.17

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

خطوة 3.12.4.18

أضف $- 32$ و $16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

خطوة 3.12.4.19

لكتابة $- 16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.12.4.20

اجمع $- 16$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.12.4.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.12.4.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.22.1

اضرب $- 16$ في $3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

خطوة 3.12.4.22.2

اطرح $48$ من $52$ .

$\frac{4}{3}$

خطوة 4

إدخال مسألتك