微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{2}$ 的指数。

$v = y^{- 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 4

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- 1}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1.4.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.4.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.5

化简 $2 x v^{1} \cdot - 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.1.3.2

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.1.3.3

通过指数相加将 $v^{- 2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.3.3.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

解题步骤 6.1.1.1.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

解题步骤 6.1.1.1.3.3.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

解题步骤 6.1.1.1.3.4

化简 $- x^{2} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

解题步骤 6.1.1.2

重新排序项。

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

解题步骤 6.1.2

从 $- 2 v x$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

解题步骤 6.1.3

将 $v$ 和 $- 2 x$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

解题步骤 6.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int - 2 x d x}$

解题步骤 6.2.2

对 $- 2 x$ 积分。

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解题步骤 6.2.2.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- 2 \int x d x}$

解题步骤 6.2.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 6.2.2.3

化简答案。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.2.3.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.2.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$e^{- x^{2} + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{- x^{2}}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数 $e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以 $e^{- x^{2}}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

解题步骤 6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

解题步骤 6.3.4

将 $e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 6.7.2

使 $u_{1} = - x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.7.2.1

设 $u_{1} = - x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.7.2.1.1

对 $- x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.7.2.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6.7.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x)$

解题步骤 6.7.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x$

解题步骤 6.7.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

解题步骤 6.7.3

化简。

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解题步骤 6.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

解题步骤 6.7.3.2

组合 $\sqrt{- u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

解题步骤 6.7.3.3

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ 。

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.7.4

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.7.5

化简。

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解题步骤 6.7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.7.5.2

将 $\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.7.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6.7.7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = e^{u_{1}}$ ， $d v = \sqrt{- u_{1}}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8

化简。

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解题步骤 6.7.8.1

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.3

将 $2$ 移到 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.4

将 $2$ 移到 $e^{u_{1}}$ 的左侧。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.5

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.6

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.7

将 $2$ 移到 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

解题步骤 6.7.8.8

将 $2$ 移到 $e^{u_{1}}$ 的左侧。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 6.7.9

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 6.7.10

化简。

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解题步骤 6.7.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 6.7.10.2

将 $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

解题步骤 6.7.11

由于 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 移到积分外。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.7.12

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

解题步骤 6.7.13

化简。

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解题步骤 6.7.13.1

将 $\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 6.7.13.2

化简。

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解题步骤 6.7.13.2.1

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.2

组合 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.3

将 $2$ 移到 $e^{u_{1}}$ 的左侧。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.4

将 $2$ 移到 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.6

组合 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

解题步骤 6.7.13.2.7

将 $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ 和 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ 相加。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

解题步骤 6.7.13.2.8

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

解题步骤 6.7.13.2.9

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{- x^{2}} v = C$

解题步骤 6.8

将 $e^{- x^{2}} v = C$ 中的每一项除以 $e^{- x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $e^{- x^{2}} v = C$ 中的每一项都除以 $e^{- x^{2}}$ 。

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $e^{- x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

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