Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Bước 1

Tìm các vectơ riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm các trị riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$

Bước 1.1.2

Ma trận đơn vị cỡ $2$ là ma trận vuông $2 \times 2$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Bước 1.1.3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Thay $[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Bước 1.1.3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{2}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.1.4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Bước 1.1.4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Cộng $2$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.4.3.2

Cộng $3$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Bước 1.1.5

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.1

Khai triển $(4 - λ) (3 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.2.1.1

Nhân $4$ với $3$ .

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.2.2

Trừ $3 λ$ khỏi $- 4 λ$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Bước 1.1.5.2.1.3

Nhân $- 3$ với $2$ .

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Bước 1.1.5.2.2

Trừ $6$ khỏi $12$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Bước 1.1.5.2.3

Sắp xếp lại $- 7 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Bước 1.1.6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Bước 1.1.7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Phân tích $λ^{2} - 7 λ + 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $6$ và tổng của chúng là $- 7$ .

$- 6, - 1$

Bước 1.1.7.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Bước 1.1.7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

Bước 1.1.7.3

Đặt $λ - 6$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.3.1

Đặt $λ - 6$ bằng với $0$ .

$λ - 6 = 0$

Bước 1.1.7.3.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$λ = 6$

Bước 1.1.7.4

Đặt $λ - 1$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.1

Đặt $λ - 1$ bằng với $0$ .

$λ - 1 = 0$

Bước 1.1.7.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$λ = 1$

Bước 1.1.7.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(λ - 6) (λ - 1) = 0$ đúng.

$λ = 6, 1$

Bước 1.2

Vectơ riêng bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi giá trị riêng nhân với ma trận đơn vị, trong đó $N$ là không gian không hạch và $I$ là ma trận đơn vị.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Bước 1.3

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Nhân $- 6$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.2.1

Nhân $- 6$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.2

Nhân $- 6$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.3

Nhân $- 6$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 1.3.2.1.2.4

Nhân $- 6$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Bước 1.3.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.2

Cộng $2$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.3

Cộng $3$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Bước 1.3.2.3.4

Trừ $6$ khỏi $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Bước 1.3.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.3.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Bước 1.3.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Bước 1.3.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Bước 1.3.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Bước 1.3.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 1.4

Tìm vectơ riêng bằng cách sử dụng trị riêng $λ = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Trừ các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn từng phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.2.2

Trừ $0$ khỏi $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.2.3

Trừ $0$ khỏi $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Bước 1.4.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Bước 1.4.3

Tìm không gian không hạch khi $λ = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{3}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{3}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 1.4.3.3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Bước 1.4.3.4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Bước 1.4.3.5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Bước 1.4.3.6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Bước 1.4.3.7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Bước 1.5

Không gian riêng của $A$ là danh sách không gian vectơ cho mỗi trị riêng.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Bước 2

Xác định $P$ làm ma trận của các vectơ riêng.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Tìm nghịch đảo của $P$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Có thể tìm nghịch đảo của một ma trận $2 \times 2$ bằng công thức $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ trong đó $a d - b c$ là định thức.

Bước 3.2

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Bước 3.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 - - \frac{2}{3}$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $- - \frac{2}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Bước 3.2.2.1.2.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$1 + \frac{2}{3}$

Bước 3.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 3.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 + 2}{3}$

Bước 3.2.2.4

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{5}{3}$

Bước 3.3

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 3.4

Thay các giá trị đã biết vào công thức cho nghịch đảo.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.6

Nhân $\frac{3}{5}$ với $1$ .

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.7

Nhân $\frac{3}{5}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Nhân $\frac{3}{5}$ với $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.2.2

Viết lại biểu thức.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $2$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.4

Nhân $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.4.1

Kết hợp $\frac{3}{5}$ và $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.8.6

Nhân $\frac{3}{5}$ với $1$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Bước 4

Sử dụng phép biến đổi đồng dạng để tìm ma trận chéo $D$ .

$D = P^{- 1} A P$

Bước 5

Thay các ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là $2 \times 2$ và ma trận thứ hai là $2 \times 2$ .

Bước 6.1.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Bước 6.1.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Bước 6.2

Nhân $[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Bước 6.2.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 6.2.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Nhập bài toán CỦA BẠN