Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 2 x$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(x^{2} - 2 x)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ .

$V = x^{2} - ((x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x))$

Этап 2.1.2

Развернем $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - (x^{2} (x^{2} - 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{2} x - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{1 + 2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x))$

Этап 2.1.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x \cdot x))$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)))$

Этап 2.1.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x^{2}))$

Этап 2.1.3.1.7

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x^{2})$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Этап 2.1.5.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Этап 2.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$V = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{3} - x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (- \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Этап 10

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}))$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Этап 12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} + 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.5

Добавим $\frac{243}{5}$ и $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.8

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.8.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.10

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.11

Объединим $4$ и $\frac{81}{4}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.12

Умножим $4$ на $81$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{324}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.13

Сократим общий множитель $324$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.13.1

Вынесем множитель $4$ из $324$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 (1)} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81}{1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.13.2.4

Разделим $81$ на $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.14

Чтобы записать $81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.15

Объединим $81$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 243 + 81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.17.1

Умножим $81$ на $5$ .

$V = π (\frac{- 243 + 405}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.17.2

Добавим $- 243$ и $405$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.18

Возведем $3$ в степень $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.19

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.19.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.19.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 12.2.4.20

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}))$

Этап 12.2.4.21

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.21.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 12.2.4.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 12.2.4.21.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 12.2.4.21.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}))$

Этап 12.2.4.21.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - 0))$

Этап 12.2.4.22

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 + 0))$

Этап 12.2.4.23

Добавим $9$ и $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 \cdot 9)$

Этап 12.2.4.24

Умножим $- 3$ на $9$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27)$

Этап 12.2.4.25

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5})$

Этап 12.2.4.26

Объединим $- 27$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5})$

Этап 12.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{162 - 27 \cdot 5}{5})$

Этап 12.2.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.28.1

Умножим $- 27$ на $5$ .

$V = π (\frac{162 - 135}{5})$

Этап 12.2.4.28.2

Вычтем $135$ из $162$ .

$V = π (\frac{27}{5})$

Этап 12.2.4.29

Объединим $π$ и $\frac{27}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 27}{5}$

Этап 12.2.4.30

Перенесем $27$ влево от $π$ .

$V = \frac{27 π}{5}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{27 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 16.96460032 \dots$

Этап 14

Введите СВОЮ задачу