Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{6} - 3 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{5} - 12 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 2]$ .

$f' (x)$ — непрерывное выражение

Этап 4

Среднее значение функции $f'$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 5

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Этап 7

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Этап 10

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Этап 12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{6}}{6}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Этап 12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.2

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.6

Добавим $\frac{32}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.7

Объединим $6$ и $\frac{32}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.8

Умножим $6$ на $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.9

Сократим общий множитель $192$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $192$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.9.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.10

Возведем $2$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.11

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.11.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

Этап 12.2.3.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

Этап 12.2.3.13

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.13.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

Этап 12.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 12.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Этап 12.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

Этап 12.2.3.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

Этап 12.2.3.14

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

Этап 12.2.3.15

Добавим $4$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

Этап 12.2.3.16

Умножим $- 12$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

Этап 12.2.3.17

Вычтем $48$ из $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

Этап 13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

Этап 13.2

Добавим $2$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

Этап 14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 8$

Этап 15

Введите СВОЮ задачу