Математический анализ Примеры

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

Этап 1

Среднее квадратическое значение (ср. кв.) функции $f$ на заданном интервале $[a, b]$ равно квадратному корню из среднеарифметического значения квадратов исходных значений.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Этап 2

Подставим фактические значения в формулу для среднего квадратического функции.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

Этап 3

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 5 x + 5$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = 5 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Дифференцируем $5 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

Этап 3.1.1.2

По правилу суммы производная $5 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 3.1.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 3.1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x + 5$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$u_{lower} = - 5 + 5$

Этап 3.1.3.2

Добавим $- 5$ и $5$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x + 5$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $5$ на $1$ .

$u_{upper} = 5 + 5$

Этап 3.1.5.2

Добавим $5$ и $5$ .

$u_{upper} = 10$

Этап 3.1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Этап 3.1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

Этап 3.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

Этап 3.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

Этап 3.5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $10$ и в $0$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 3.5.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $1000$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 3.5.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Этап 3.5.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Этап 3.5.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

Этап 3.5.2.6

Добавим $\frac{1000}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

Этап 3.5.2.7

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1000}{3}$ .

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.8

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{1000}{15}$

Этап 3.5.2.9

Сократим общий множитель $1000$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.9.1

Вынесем множитель $5$ из $1000$ .

$\frac{5 (200)}{15}$

Этап 3.5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Этап 3.5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{200}{3}$

Этап 4

Упростим формулу среднего квадратического значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{1 + 1}$ на $\frac{200}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3

Сократим выражение $\frac{200}{2 \cdot 3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $200$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

Этап 4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{100}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{10}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{10}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу