Математический анализ Примеры Применение дифференцирования

Найти абсолютный максимум и абсолютный минимум на интервале

$f (x) = 6 x^{2}$ , $[1, 3]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x)$

Этап 1.1.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f' (x) = 12 x$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x$ .

$12 x$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $12 x = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $6 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$6 {(0)}^{2}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 \cdot 0$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $6$ на $0$ .

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$6 {(1)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$6 \cdot 1$

Этап 3.1.2.2

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$6 {(3)}^{2}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$6 \cdot 9$

Этап 3.2.2.2

Умножим $6$ на $9$ .

$54$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(1, 6), (3, 54)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(3, 54)$

Абсолютный минимум: $(1, 6)$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу