Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 6$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Этап 1.1.4

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $4 x^{3} = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{3} = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.4

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 4 x^{3}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = x^{4} - 6$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1$

Этап 5.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 4$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 4 {(1)}^{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 4 \cdot 1$

Этап 6.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (1) = 4$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $4$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу