Математический анализ Примеры

Найти касательную в заданной точке, используя определение предела
,
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем значение в точке .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 2.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 2.1.2.2
Добавим и .
Этап 2.1.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 2.2
Поскольку , точка лежит на графике.
Точка лежит на графике
Точка лежит на графике
Этап 3
Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.
Производная от
Этап 4
Рассмотрим определение производной на основе предела.
Этап 5
Найдем компоненты определения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем значение функции в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 5.1.2.1.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.1.3
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.3.1.1
Умножим на .
Этап 5.1.2.1.3.1.2
Умножим на .
Этап 5.1.2.1.3.2
Добавим и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.3.2.1
Изменим порядок и .
Этап 5.1.2.1.3.2.2
Добавим и .
Этап 5.1.2.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.1.5
Умножим на .
Этап 5.1.2.1.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 5.2
Упорядочим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Перенесем .
Этап 5.2.2
Перенесем .
Этап 5.2.3
Изменим порядок и .
Этап 5.3
Найдем компоненты определения.
Этап 6
Подставим компоненты.
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.3
Умножим на .
Этап 7.1.4
Вычтем из .
Этап 7.1.5
Добавим и .
Этап 7.1.6
Вычтем из .
Этап 7.1.7
Добавим и .
Этап 7.1.8
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.2
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.3
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.4
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.5
Вынесем множитель из .
Этап 7.2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.2
Разделим на .
Этап 7.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Умножим на .
Этап 7.3.2
Умножим на .
Этап 7.4
Изменим порядок и .
Этап 8
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 8.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 8.3
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 8.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 9
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 10
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Умножим на .
Этап 10.2
Добавим и .
Этап 11
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Умножим на .
Этап 11.2
Добавим и .
Этап 12
Угловой коэффициент равен , а точка ― .
Этап 13
Найдем значение , используя уравнение прямой.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Найдем с помощью уравнения прямой.
Этап 13.2
Подставим значение в уравнение.
Этап 13.3
Подставим значение в уравнение.
Этап 13.4
Подставим значение в уравнение.
Этап 13.5
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.5.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 13.5.2
Умножим на .
Этап 13.5.3
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.5.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 13.5.3.2
Вычтем из .
Этап 14
Теперь, когда известны значения (углового коэффициента) и (координат точки пересечения с осью y), подставим их в , чтобы найти уравнение прямой.
Этап 15
Введите СВОЮ задачу
Для Mathway требуются JavaScript и современный браузер.