Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ , $[- 2, 1]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 1]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 6 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 6 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $6 x + 6$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x + 6$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x + 6$ .

$6 x + 6$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(- 2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(- 2, 1)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(- 2, 1)$ , поскольку производная является непрерывной на $(- 2, 1)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[- 2, 1]$ , дифференцируемое в области $(- 2, 1)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 1]$ , дифференцируемое в области $(- 2, 1)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[- 2, 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2) = 12 + 6 (- 2) - 5$

Этап 7.2.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 12 - 12 - 5$

Этап 7.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $12$ из $12$ .

$f (- 2) = 0 - 5$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (- 2) = - 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 8

Найдем значение $f (b)$ из интервала $[- 2, 1]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

Этап 8.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

Этап 8.2.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f (1) = 3 + 6 - 5$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $3$ и $6$ .

$f (1) = 9 - 5$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$f (1) = 4$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 9

Решим $6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $\frac{(4) - (- 5)}{(1) - (- 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$6 x + 6 = \frac{4 + 5}{1 - (- 2)}$

Этап 9.1.1.2

Добавим $4$ и $5$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 - (- 2)}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{1 + 2}$

Этап 9.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$6 x + 6 = \frac{9}{3}$

Этап 9.1.3

Разделим $9$ на $3$ .

$6 x + 6 = 3$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$6 x = 3 - 6$

Этап 9.2.2

Вычтем $6$ из $3$ .

$6 x = - 3$

Этап 9.3

Разделим каждый член $6 x = - 3$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $6 x = - 3$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{6}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

Этап 9.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Этап 9.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Этап 9.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 10

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 1$ , находится в точке $x = - \frac{1}{2}$ .

Касательная в точке $x = - \frac{1}{2}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = - 2$ и $b = 1$ .

Этап 11

Введите СВОЮ задачу