Cálculo Exemplos

Encontrar onde o teorema de valor médio é satisfeito
,
Etapa 1
Se for contínua no intervalo e diferenciável em , então pelo menos um número real existirá no intervalo , de modo que . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em e a inclinação da reta através dos pontos e .
Se for contínuo em
e se for diferenciável em ,
então, existe ao menos um ponto, em : .
Etapa 2
Verifique se é contínua.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Etapa 2.2
é contínuo em .
A função é contínua.
A função é contínua.
Etapa 3
Encontre a derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 3.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 3.1.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.1.3.2
Some e .
Etapa 3.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 4
Determine se a derivada é contínua em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Etapa 4.2
é contínuo em .
A função é contínua.
A função é contínua.
Etapa 5
A função é diferenciável em , porque a derivada é contínua em .
A função é diferenciável.
Etapa 6
satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em e diferenciável em .
é contínuo em e diferenciável em .
Etapa 7
Avalie a partir do intervalo .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 7.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 7.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 7.2.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.2.1
Some e .
Etapa 7.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 7.2.3
A resposta final é .
Etapa 8
Avalie a partir do intervalo .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 8.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 8.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 8.2.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.2.2.1
Some e .
Etapa 8.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 8.2.3
A resposta final é .
Etapa 9
Resolva para . .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1.1
Reescreva como .
Etapa 9.1.1.2
Fatore de .
Etapa 9.1.1.3
Fatore de .
Etapa 9.1.1.4
Fatore de .
Etapa 9.1.1.5
Fatore de .
Etapa 9.1.1.6
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1.6.1
Fatore de .
Etapa 9.1.1.6.2
Cancele o fator comum.
Etapa 9.1.1.6.3
Reescreva a expressão.
Etapa 9.1.2
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 9.1.2.2
Some e .
Etapa 9.1.3
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.3.1
Some e .
Etapa 9.1.3.2
Multiplique por .
Etapa 9.1.3.3
Divida por .
Etapa 9.2
Mova todos os termos que não contêm para o lado direito da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 9.2.2
Subtraia de .
Etapa 9.3
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1
Divida cada termo em por .
Etapa 9.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 9.3.2.1.2
Divida por .
Etapa 9.3.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.3.1
Divida por .
Etapa 10
Existe uma reta tangente em paralela à reta que atravessa os pontos finais e
Existe uma reta tangente em paralela à reta que atravessa os pontos finais e
Etapa 11
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