Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Etapa 1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) - \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (2 \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{2 - 2 \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{2 - 2 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 4.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 4.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 4.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 4.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 4.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 4.3.7.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Etapa 4.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Etapa 4.3.7.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Etapa 4.3.8

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.8.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 5.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 5.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 5.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (2 \cdot \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.5

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (0)}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cdot 1}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{- 2 + 8}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.6

Some $- 2$ e $8$ .

$\frac{6}{\cos (0)}$

Etapa 8.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{6}{1}$

Etapa 8.3

Divida $6$ por $1$ .

$6$

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