Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} + x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 x^{2} + 1 + 0$

Etapa 1.1.3.3

Some $9 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $9 x^{2} + 1$ .

$9 x^{2} + 1$

Etapa 2

Determine se a derivada é contínua em $(5, 7)$ .

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f' (x)$ é contínuo em $(5, 7)$ .

A função é contínua.

Etapa 3

A função é diferenciável em $(5, 7)$ , porque a derivada é contínua em $(5, 7)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 4

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