Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $4 x$ de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 1.2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{4} - 4 x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $\sqrt{2}$ por $x$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.4.2.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.4.2.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Etapa 1.4.2.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$4 - 4 \cdot 2$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$4 - 8$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$- 4$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $- \sqrt{2}$ por $x$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{4}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.6

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.8

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.9

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.1.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.4.3.2.1.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.4.3.2.1.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.4.3.2.1.9.4.2

Reescreva a expressão.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Etapa 1.4.3.2.1.9.5

Avalie o expoente.

$4 - 4 \cdot 2$

Etapa 1.4.3.2.1.10

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$4 - 8$

Etapa 1.4.3.2.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$- 4$

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$81 - 36$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $36$ de $81$ .

$45$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$256 - 64$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $64$ de $256$ .

$192$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, 192)$

Mínimo absoluto: $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Etapa 4

Insira SEU problema