Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

Etapa 1

Escreva $y = 3 x^{3} + x + 3$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Some $3$ e $1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $4$ e $3$ .

$f (1) = 7$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 2.2

Como $7 = 7$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Etapa 5.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.1.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.1.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.1.2.2.4

Remova os parênteses.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.1.2.3

A resposta final é $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.2.2

Mova $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Etapa 5.2.3

Mova $x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Etapa 5.2.4

Mova $3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Etapa 5.2.5

Mova $9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Etapa 5.2.6

Reordene $9 h^{2} x$ e $3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Etapa 7.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $3 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Etapa 7.1.4

Some $3 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Etapa 7.1.5

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Etapa 7.1.6

Some $3 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Etapa 7.1.7

Subtraia $3$ de $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Etapa 7.1.8

Some $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Etapa 7.1.9

Fatore $h$ de $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.9.1

Fatore $h$ de $3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Etapa 7.1.9.2

Fatore $h$ de $9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Etapa 7.1.9.3

Fatore $h$ de $9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Etapa 7.1.9.4

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Etapa 7.1.9.5

Fatore $h$ de $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 7.1.9.6

Fatore $h$ de $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 7.1.9.7

Fatore $h$ de $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 7.1.9.8

Fatore $h$ de $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Etapa 7.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Etapa 7.2.2.2

Mova $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Etapa 7.2.2.3

Reordene $9 x h$ e $9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 9

Avalie o limite de $9 x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 10

Mova o termo $9 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 12

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 13

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Multiplique $9 x \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1.1

Multiplique $0$ por $9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Etapa 15.1.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Etapa 15.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 15.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Etapa 15.2

Combine os termos opostos em $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Etapa 15.2.2

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2} + 1$

Etapa 16

Encontre a inclinação $m$ . Neste caso, $m = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Remova os parênteses.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Etapa 16.2

Simplifique $9 \cdot 1^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$m = 9 + 1$

Etapa 16.2.2

Some $9$ e $1$ .

$m = 10$

Etapa 17

A inclinação é $m = 10$ , e o ponto é $(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Etapa 18

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 18.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (10) \cdot x + b$

Etapa 18.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Etapa 18.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Etapa 18.5

Encontre o valor de $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Reescreva a equação como $(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Etapa 18.5.2

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 + b = 7$

Etapa 18.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.3.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$b = 7 - 10$

Etapa 18.5.3.2

Subtraia $10$ de $7$ .

$b = - 3$

Etapa 19

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 10 x - 3$

Etapa 20

Insira SEU problema